Tuesday, November 15, 2016

Determinan Matriks

Determinan Matriks. Determinan Matriks adalah sebuah nilai yang didapatkan dari sebuah matriks persegi yang mana nilai tersebut nantinya digunakan untuk mencari nilai dari invers sebuah matriks.

Determinan sebuah matriks hanya bisa didapatkan dari sebuah matriks persegi.

Determinan ini digunakan juga untuk menyelesaikan sebuah persamaan linier.

Pada artikel berikut saya akan menjelaskan bagaimana menentukan determinan sebuah matriks baik matriks tersebut berordo 2x2, atau 3x3 maupun 4x4.

Determinan yang saya jelaskan di bawah juga akan diberikan contoh soal bagaimana menyelesaikan sebuah matriks.

Dengan penjelasan saya di bawah, diharapakan anda bisa memahami dan menyelesaikan determinan dari matriks dengan berbagai orde.

Notasi Determinan dari matriks.
Pada pelajaran matematika biasanya notasi dari determinan matriks ditulis dengan:

det(?)

atau:

|?|

Tanda tanya (?) diisi identitas dari sebuah matriks.

Jika matriks tersebut adalah matriks A maka  notasi determinan matriks tersebut adalah det(A) atau |A|.

Jika matriks tersebut adalah matriks B maka determinannya adalah det(B) atau |B|.  

Baiklah, sekarang kita akan memulai bagaimana menentukan determinan matriks menggunakan metoda minor cofactors dan Metoda Ekspansi Laplace

Determinan Matriks 2x2

Determinan Matriks 2x2 bisa anda lihat pada gambar 1 di bawah ini:

matriks 2x2
Gambar 1 Matriks 2x2
Pada matriks A 2x2 yang anda lihat pada gambar 1.

Matriks tersebut memiliki elemen a, b c dan d.

Untuk menyelesaikan matriks ini anda bisa menggunakan metoda cofactors.

Penggunaan metoda cofactors ini memberikan tanda pada matriks berupa tanda min dan plus.

Pada baris pertama kita bisa memberikan tanda plus terlebih dahulu kemudian min dan seterusnya bergantian (jika matriks memiliki orde yang lebih dari dua).

Dan baris kedua dimulai dari min kemudian berikutnya plus dan seterusnya bergantian.

Pemberian tanda plus terlebih dahulu kemudian bergantian tanda min.

Begitulah penggunaan metoda cofactors. Pemberian tanda cofactor bisa anda lihat pada gambar 2 berikut:

Matriks 2x2 dengan tanda cofactors
Gambar 2 Matriks 2x2 dengan tanda cofactors

Setelah menetukan tanda kurang dan tambah (min dan plus) seperti gambar 2 barulah kita menentukan determinan dengan aturan yang terlihat pada gambar.

Ingat tanda kurang dan tambah digunakan untuk menentukan koofesien matriks apakah min atau plus.

Berikut gambar 3 aturan  determinan.

Aturan determinan matriks 2x2
Gambar 3 Aturan determinan matriks 2x2

Lihat pada gambar 3 terdapat elemen matriks dengan warna ungu dan biru.

Jika kita kaitkan dengan gambar 2 tanda minus dan tanda plus maka elemen a bertanda plus dan elemen b bertanda minus.

Tiap warna menandakan bahwa elemen matriks tersebut dikali. Jadi hasil dari determinan matriks A adalah

det(A) = |A| = + (a.d) - (b.c)

Demikianlah determinan dari matriks dengan orde 2x2.


Determinan Matriks 3x3

Setelah membahas bagaimana menentukan determinan dari matriks 3x3, kita akan kembali mempelajari bagaimana menentukan matriks dengan orde 3x3.

Untuk penyelesaiannya kita tetap menggunakan metoda cofactors. Anda bisa melihat gambar 4 di bawah, gambar matriks 3x3.
Matriks 3x3
Gambar 4 Matriks 3x3
Untuk menyelesaikan matrik 3x3 di atas (gambar 4), tetap menggunakan metoda cofactors dengan memberikan tanda kurang dan tambah (min dan plus) pada elemen-elemen yang terdapat pada matriks 3x3 di atas. Berikut pemberian tanda kurang dan tambah lihat gambar 5.

Matriks 3x3 dengan tanda cofactors
Gambar 5 Matriks 3x3 dengan tanda cofactors

Pemberian tanda tetap bergantian untuk tiap elemen dari matriks.

Namun pemberian tanda dimulai pada elemen pertama dengan tanda plus (tambah).

Kemudian kita memulai aturan determinan matriks menggunakan metoda ekspansi laplace.

Setiap elemen matriks pada baris petama harus dihitung untuk mendapatkan determinan matriks A, kita mulai dari elemen a, kemudian b dan kemudian c.

Agar lebih mudah mengerti anda bisa melihat warna-warna yang terdapat pada setiap elemen pada matriks


1. Elemen a
Elemen a matriks 3x3
Gambar 6 Elemen a pada matriks 3x3
Dari gambar 6 di dapatkan:


Tanda garis dua berwarna hitam pada gambar 6 berarti elemen tersebut dicoret atau tidak diikutkan dalam perhitungan. Elemen yang tidak diikutkan dalam perhitungan adalah b,c,d,g.

Pada elemen a mendapat tanda tambah (plus) lihat gambar 5 sehingga didapatkan persamaan:

+ a ((e.i)-(f.h))

2. Elemen b (lihat gambar 7)

matriks 3x3 elemen b
Gambar 7 Matriks 3x3 elemen b
Pada gambar 7 di dapatkan:

Tanda garis dua berwarna hitam pada gamber 7 berarti elemen tersebut dicoret atau tidak diikutkan dalam perhitungan. Elemen yang tidak diikutkan dalam perhitungan adalah a,c,e,h.

Pada elemen b mendapat tanda min (kurang) lihat gambar 5 sehingga didapatkan persamaan:

- b ((d.i)-(f.g))
3. Elemen c (lihat gambar 8)

Matriks 3x3 elemen c
Gambar 8 Matriks 3x3 elemen c

Pada gambar 8 di dapatkan:

Tanda garis dua berwarna hitam pada gamber 8 berarti elemen tersebut dicoret atau tidak diikutkan dalam perhitungan. Elemen yang tidak diikutkan dalam perhitungan adalah a,b,f,i.

Pada elemen c mendapat tanda tambah (plus) lihat gambar 5 sehingga dapat persamaan:

 + c ((d.h)-(e.g))


Dari tiga persamaan elemen a, elemen b dan elemen c jika digabungkan akan menhasilkan determinan

det(A) = |A| = + a ((e.i)-(f.h)) - b ((d.i)-(f.g))  + c ((d.h)-(e.g)) = a.e.i - a.f.h - b.d.i + b.f.g + c.d.h -c.e.g

Demikianlah penjabaran dari determinan matrik 3x3

Determinan Matriks 4x4

Setelah membahas bagaimana mencari determinan dari matriks 3x3, kita akan kembali memahami bagaimana menentukan matriks dengan orde 4x4.

Kita menggunakan metoda cofactors untuk mencari determinan matrik orde 4x4.

Anda bisa melihat gambar 9 di bawah ini, gambar 9 tersebut merupakan bentuk dari matriks 4x4.

Matriks 4x4
Gambar 9 Matriks 4x4


Untuk menyelesaikan matrik 4x4 di atas (gambar 9), kita akan menggunakan metoda cofactors dengan memberikan tanda tambah dan kurang (plus dan minus) pada elemen-elemen (a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p) yang terdapat pada matriks 4x4 di atas .

Berikut pemberian tanda kurang dan tambah yang bisa dilihat pada  gambar 10.
Matriks 4x4 dengan tanda cofactors
Gambar 10 Matriks 4x4 dengan tanda cofactors

Penyelesaian matriks 4x4, kita kelompokkan menjadi 4 kelompok, yaitu:

Kelompok 1 elemen a.

Matriks 4x4 kelompok 1 elemen a
Gambar 11 Matriks 4x4 kelompok 1 elemen a

Pada kelompok 1 ketika kita mengambil elemen a untuk diproses, setelah memproses elemen a yang mana elemen a bertanda tambah (plus sesuai aturan cofactors) maka akan terdapat matriks 3x3 yang harus dikalikan dengan a (lihat gambar 11). Matriks 3x3 dengan elemen f,g,h,j,k,l,n,o,p bisa diselesaikan melalui cara yang telah kita lakukan sebelumnya, berikut penyelesaiannya lihat gambar 12

kelompok 1 elemen a dengan matriks 3x3
Gambar 12 Kelompok 1 elemen a dengan matriks 3x3
Dari gambar 12 didapatkan persamaan kelompok 1 elemen a dan f yaitu
(+a).((+f).((k.p)-(l.o))) = +a.f.k.p -a.f.l.o             ....persamaan(1)

Anda dapat meneruskannya untuk elemen g pada kelompok 1 elemen a dengan menggunakan penyelesaian matriks 3x3 untuk elemen a yang telah saya jelaskan di atas.
(+a).((-g).((j.p)-(l.n))) = -a.g.j.p + a.g.l.n             ....persamaan(2)

Anda dapat meneruskannya untuk elemen h pada kelompok 1 elemen a dengan menggunakan penyelesaian matriks 3x3 yang telah saya jelaskan di atas.
(+a).((+h).((j.o)-(k.n))) = +a.h.j.o - a.h.k.n         .....persamaan(3)


Kelompok 2 elemen b.
Matriks 4x4 kelompok 2 elemen b
Gambar 13 Matriks 4x4 kelompok 2 elemen b

 Dari gambar 13 matriks 4x4 kelompok 2 elemen b didapatkan persamaan

(-b).((+e).((k.p) - (l.o))   = -b.e.k.p + b.e.l.o          ....persamaan(4)
(-b).((-g).((i.p) - (l.m))    =  +b.g.i.p - b.g.l.m          ....persamaan(5)
(-b).((+h).((i.o) - (k.m))  = -b.h.i.o + b.h.k.m          ....persamaan(6)


Kelompok 3 elemen c dapat anda lihat pada gambar 14 di bawah ini

Matriks 4x4 Kelompok 3 elemen c
Gambar 14 Matriks 4x4 Kelompok 3 elemen c



 Dari gambar 14 matriks 4x4 kelompok 3 elemen c didapatkan persamaan

(+c).((+e).((j.p) - (l.n))   = +c.e.j.p - c.e.l.n           .....persamaan(7)
(+c).((-f).((i.p) - (l.m))    = -c.f.i.p + c.f.l.m           ....persamaan(8)
(+c).((+h).((i.n) - (j.m))  =  +c.h.i.n - c.h.j.m         ....persamaan(9)


Kelompok 4 elemen d dapat anda lihat pada gambar 15 di bawah ini

Matriks 4x4 kelompok 4 elemen d
Gambar 15 Matriks 4x4 kelompok 4 elemen d



 Dari gambar 15 matriks 4x4 kelompok 4 elemen d didapatkan persamaan

(-d).((+e).((j.o) - (k.n)) = -d.e.j.o + d.e.k.n          ....persamaan(10)
(-d).((-f).((i.o) - (k.m))  = +d.f.i.o - d.f.k.m          ....persamaan(11)
(-d).((+g).((i.n) - (j.m))  = -d.g.i.n + d.g.j.m         ....persamaan(12)

 Dari ke 12 persamaan tersebut maka didapatkan nilai determinan A

det(A)=|A|= persaman 1 + persamaan 2 + persamaan 3 + persamaan 4 + persamaan 5 + persamaan 6 + persaman 7 + persamaan 8 + persamaan 9 + persamaan 10 + persamaan 11 + persamaan 12

jadi :


det(A)=|A|= +a.f.k.p  - a.f.l.o - a.g.j.p + a.g.l.n + a.h.j.o - a.h.k.n - b.e.k.p + b.e.l.o + b.g.i.p - b.g.l.m -b.h.i.o + b.h.k.m + c.e.j.p - c.e.l.n - c.f.i.p + c.f.l.m + c.h.i.n - c.h.j.m - d.e.j.o + d.e.k.n + d.f.i.o - d.f.k.m -d.g.i.n + d.g.j.m


det(A )= |A| = +a.f.k.p + a.g.l.n +a.h.j.o
+b.e.l.o +b.g.i.p + b.h.k.m
+c.e.j.p + c.f.l.m +c.h.i.n
+ d.e.k.n +d.f.i.o + d.g.j.m
-a.f.l.o -a.g.j.p - a.h.k.n
-b.e.k.p - b.g.l.m -b.h.i.o
-c.e.l.n -c.f.i.p - c.h.j.m
-d.e.j.o - d.f.k.m -d.g.i.n


Untuk melengkapi pemahaman tentang determinan matriks, saya akan memberikan beberapa contoh soal yang terkait dengan matriks 2x2, 3x3 dan 4x4.

Contoh soal determinan matriks

Tentukan determinan dari matriks matriks di bawah ini.
1.Tentukan determinan dari matriks B 2x2 di bawah ini
2.  Tentukan determinan matriks D 3x3 di bawah ini


3.Berapakah determinan matriks A 4x4 di bawah ini


 Jawab

1. Untuk matriks B 2x2 kita bisa mengambil rumus yang telah kita tentukan di atas:
   det(A) = |A| = + (a.d) - (b.c)

Di mana dari matriks 2x2 pada soal jika dikonversi ke gambar 1 maka diketahui nilai:
a = 12, b = 16, c = -9, d = 3

Maka:
det(B) = |B| = + (12.3) - (16. -9) = + (36) - (-144) = 36 + 144 = 180

 Jadi determinan untuk matriks B adalah 180

2. Untuk matriks D 3x3 pada soal di atas bisa kita cari dengan rumus berikut

det(A) = |A| = + a ((e.i)-(f.h)) - b ((d.i)-(f.g))  + c ((d.h)-(e.g)) = a.e.i - a.f.h - b.d.i + b.f.g + c.d.h -c.e.g

Di mana dari matriks 3x3 yang terdapat pada soal jika dikonversi ke gambar4 maka nilai:
a = 9 , b = -7 , c = 8, d = 3, e = 5, f = 2, g = 6, h = -2, i = -5

Maka determinan matriks D adalah

det(D) = |D| = (a.e.i) - (a.f.h) - (b.d.i) + (b.f.g) + (c.d.h) -(c.e.g)
det(D) = |D| = (9.5.-5) - (9.2.-2) - (-7.3.-5) + (-7.2.6) + (8.3.-2) -(8.5.6)
det(D) = |D| = (-225) - (-36) - (105) + (-84) + (-48) - (240) = -666

Hasil dari determinan matriks D adalah - 666
 
3. Untuk matriks A 4x4 pada soal di atas bisa kita dapatkan dengan rumus berikut

det(A )= |A| =+a.f.k.p + a.g.l.n +a.h.j.o
+b.e.l.o +b.g.i.p + b.h.k.m
+c.e.j.p + c.f.l.m +c.h.i.n
+ d.e.k.n +d.f.i.o + d.g.j.m
-a.f.l.o -a.g.j.p - a.h.k.n
-b.e.k.p - b.g.l.m -b.h.i.o
-c.e.l.n -c.f.i.p - c.h.j.m
-d.e.j.o - d.f.k.m -d.g.i.n

Di mana dari matriks yang terdapat pada soal jika dikonversi ke gambar 9 maka nilai:
a = 8 , b = 0 , c = 8, d = 4, e = 7, f = 3, g = 6, h = 9, i = -9, j = 2, k = -5 , l = 7, m = -3, n=7, o=3, p=2

Maka determinan matriks A adalah

det(A )= |A| =+ (8.3.-5.2) + (8.6.7.7) + (8.9.2.3)
+ (0.7.7.3) + (0.6.-9.2) + (0.9.-5.-3)
+ (8.7.2.2) + (8.3.7.-3) + (8.9.-9.7)
+ (4.7.-5.7) + (4.3.-9.3) + (4.6.2.-3)
- (8.3.7.3) - (8.6.2.2) - (8.9.-5.7)
- (0.7.-5.2) - (0.6.7.-3) -(0.9.-9.3)
- (8.7.7.7) - (8.3.-9.2) - (8.9.2.-3)
- (4.7.2.3) - (4.3.-5.-3) -(4.6.-9.7)


det(A)=|A|=+ (-240) + (2352) + (432) + (0) + (0) + (0) + (224) + (-504) + (-4536) + (-980) + (-324)
+ (-144) - (504) - (192) - (-2520) - (0) - (0) - (0) - (2744) - (-432) - (-432) - (168)
- (180) - (1512)

det(A) = |A| = -5636

Hasil dari determinan matriks D 4x4 adalah -5636

Demikianlah artikel determinan matriks.

Diharapkan anda dapat mengerti bagaimana mencari determinan matriks dengan ordo berapapun, terima kasih.

Determinan Matriks Rating: 4.5 Diposkan Oleh: Dedy Fermana

0 komentar:

Post a Comment

Note: Only a member of this blog may post a comment.